
\prob{0032}{线段比例求面积}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \image{0032}
  \caption{总第~\ref{sec:0032} 题图} \label{fig:0032}
\end{figure}

如图~\ref{fig:0032}，在$\triangle ABC$中，$P$、$Q$、$R$分别在线段$AB$、$BC$、$AC$上，$AP:BP = 1:2$，$BQ:CQ = 1:3$，$CR:AR = 1:4$。若$\triangle ABC$的面积为$12$，求$\triangle PQR$的面积。
\problabels{yellow/平面几何, green/面积问题}

\ans{$\triangle PQR$的面积为$5$。}

\subsection{面积比例} \label{subsec:0032-rat}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \image{0032-rat}
  \caption{总第~\ref{sec:0032} 题方法~\ref{subsec:0032-rat} 图}
  \label{fig:0032-rat}
\end{figure}

如图~\ref{subsec:0032-rat}，连接$CP$。设$S = S_{\triangle ABC} = 12$。

由$CR:AR = 1:4$知$S_{\triangle APR}:S_{\triangle APC} = 4:5$，由$AP:BP = 1:2$知$S_{\triangle APC}:S = 1:3$，于是$S_{\triangle APR}:S = 4:15 \Rightarrow S_{\triangle APR} = \sfrac{16}5$。同理得
\begin{align*}
  S_{\triangle BQP} &= 2 \\
  S_{\triangle CRQ} &= \frac95
\end{align*}
于是
\begin{align*}
  S_{\triangle PQR} &= S - S_{\triangle APR} - S_{\triangle BQP} - S_{\triangle CRQ} \\
  &= 12 - \frac{16}5 - 2 - \frac95 \\
  &= 12 - 7 = 5
\end{align*}
因此，$\triangle PQR$的面积为$5$。
